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1
MEF(r) = (M(r) - 1).
�r
L�sung der Aufgabe 34
1
Der empirische Mittelwert �(Pn) = xi ist 4,19, die empirische Varianz
i
n
n
1
Var(Pn) = (xi - �(Pn))2 = 6, 1849
n
i=1
und somit ist die Standardabweichung
�(Pn) = 6, 1849 = 2, 4869459.
Daraus ergibt sich die Pr�mie 4, 19(1 + �) nach dem Erwartungswertprinzip bzw. 4, 19 +
2, 4869459� nach dem Standardabweichungsprinzip.
Die folgende Tabelle zeigt die Pr�mie nach dem Exponentialprinzip mit unterschiedlicher
Risikoaversion a. Zum Vergleich daneben die Pr�mie nach dem Varianzprinzip:
120 ANHANG A. �BUNGSAUFGABEN UND L�SUNGEN
a Exponentialprinzip Varianzprinzip
0.0020000000 4.1961934830 4.1961849000
0.0040000000 4.2024041134 4.2023698000
0.0060000000 4.2086318639 4.2085547000
0.0080000000 4.2148767052 4.2147396000
0.0100000000 4.2211386063 4.2209245000
0.0120000000 4.2274175361 4.2271094000
0.0140000000 4.2337134616 4.2332943000
0.0160000000 4.2400263480 4.2394792000
0.0180000000 4.2463561601 4.2456641000
0.0200000000 4.2527028608 4.2518490000
0.0220000000 4.2590664118 4.2580339000
0.0240000000 4.2654467735 4.2642188000
0.0260000000 4.2718439051 4.2704037000
0.0280000000 4.2782577641 4.2765886000
0.0300000000 4.2846883069 4.2827735000
0.0320000000 4.2911354887 4.2889584000
0.0340000000 4.2975992630 4.2951433000
0.0360000000 4.3040795821 4.3013282000
0.0380000000 4.3105763969 4.3075131000
0.0400000000 4.3170896570 4.3136980000
L�sung der Aufgabe 35
Der Wert � = 50 ist viel zu gro�, jeder Berechnungsversuch endet im Overflow. F�r � = 5
ergibt sich der Anpassungskoeffizient
R = 0, 230422.
L�sung der Aufgabe 36
Mit s = 110000 erhalten wir mit dem Anpassungskoeffizient R die erw�nschte Schranke f�r
die Ruinwahrscheinlichkeit
�(s) d" e-Rs = 0, 00001
oder
- ln(0, 00001)
R = = 0, 000104663.
110000
Die Pr�mie, die diesen Anpassungskoeffizienten liefert, ist die nach dem Exponentialprinzip
mit Risikoaversion a = R. Diese Pr�mie wird (f�r kleines a) approximiert durch die Pr�mie
nach dem Varianzprinzip der Form
1
� = � + R�2.
2
Der gesuchte Sicherheitszuschlag ist damit
1
� 0, 000104663 � �2.
2
A.2. L�SUNGEN 121
L�sung der Aufgabe 37
1
� = und Q(x, ") = e-�x, also
�
1
Q(x, ") = �e-�x, x > 0.
�
Dies ist die Dichte von Exp(�).
L�sung der Aufgabe 38
Der Erwartungswert und die Varianz der PSV(�, Q) sind
��1(Q)
und
��2(Q),
wenn �k(Q) = xkQ(dx) das k-te Moment von Q ist. Der Variationskoeffizient der PSV(�, Q)
ist somit
�1(Q)/(�2(Q)sqrt�,
und dies konvergiert gegen Null f�r � �! ". Der Variationskoeffizient wird als Risikoma� f�r
Versicherungsbest�nde benutzt. Obige Konvergenz ist dann interpretierbar als Verkleinerung
des Risikos bei Vergr��erung des Bestandes, durch diese Vergr��erung kann man das Risiko
beliebig klein machen.
L�sung der Aufgabe 39
Raten: Es gibt zwei M�glichkeiten, die beide gleich wahrscheinlich sind; die gesuchte Wahr-
scheinlichkeit ist daher 0,5.
Diese Antwort ist falsch!
Nachdenken und Rechnen: Messungen (oder idealisierte Vorstellungen) ergeben, da� der
Radius der Kopfplatte und die L�nge des Nagels �bereinstimmen und da� der Schwerpunkt
des Rei�nagels nicht in der Mitte der Kopfplatte, sondern auf dem Nagel liegt, 1/10 der
L�nge des Nagels von der Kopfplatte entfernt.
Sei � der Winkel zwischen der Tischplatte und dem Nagel beim Aufprall auf die Tischplat-
te. Wir nehmen an, da� der Aufprall keinen Drehimpuls erzeugt. Der kritische Winkel �0
zwischen Null und 90 Grad, ab dem der Rei�nagel mit der Spitze nach oben liegenbleibt,
erf�llt
tan �0 = 1/10,
�0 = 5, 7
(siehe Zeichnung; der Schwerpunkt des Rei�nagels liegt dann genau senkrecht �ber dem
Aufprallpunkt.) Somit bleibt der Rei�nagel mit der Spitze nach oben liegen f�r
�0 d" � d" 90,
122 ANHANG A. �BUNGSAUFGABEN UND L�SUNGEN
sowie
90 d" � d" 180 - �0.
Da der Winkel � gleichverteilt auf (0, 360) ist, betr�gt die gesuchte Wahrscheinlichkeit
180 - 2�0
= 0, 468.
360
Schematische Darstellung des Rei�nagels (d�nn)
und des kritischen Aufprallwinkels �0, der einmal rechts und einmal links auftritt.
Erfahrung sammeln: Lassen Sie einen Rei�nagel 10.000 mal auf die Tischplatte fallen und
z�hlen Sie, wie oft der Rei�nagel mit der Spitze nach oben liegenbleibt. Ist M diese Anzahl,
so ist M/10.000 ein guter Sch�tzwert f�r die gesuchte Wahrscheinlichkeit (Gesetz der Gro�en
Zahl).
L�sung der Aufgabe 40
Der Zusammenhang zwischen Fahrleistung und Anzahl der Schadenf�lle sieht ungef�hr wie
in der Zeichnung aus.Im Bereich 0 bis 10.000 wirkt Unerfahrenheit, zwischen 10.000 und
25.000 wirkt die Exposure (d.h. wer l�nger f�hrt, kann auch mehr Unf�lle erleben), zwischen
25.000 und 40.000 wirkt sich Routine aus, und dann kommt der Dieselknick.
L�sung der Aufgabe 41
a) Industrie-Feuerversicherung: der Brand in der Spinnerei Ettlingen 1995
b) Kraftfahrt-Kaskoversicherung: der Hagelschaden von M�nchen Herbst 1986
c) Optionen bei Lebensversicherungsvertr�gen: Beleihung mit garantiert niedrigem Zins
d) L�ngerlebigkeit in der Rentenversicherung: Zwang zur Nachreservierung bei Lebens-
versicherungsunternehmen
d ) Kfz-Diebstahl nach dem Fall der Mauer
L�sung der Aufgabe 42
a) Private Krankenversicherung mit Beitragserstattung bei Leistungsfreiheit.
b) Bonus-Malus in der Kraftfahrtversicherung.
c) Gewinnbeteiligung in der R�ckversicherung.
L�sung der Aufgabe 43
a) Versicherungsvertr�ge mit Selbstbeteiligung.
b) Versicherungsvertr�ge mit Haftungsbeschr�nkung.
A.2. L�SUNGEN 123
c) Proportionale und nichtproportionale R�ckversicherung.
L�sung der Aufgabe 44
Da in der Aufgabe keine Zinsen erw�hnt werden, wollen wir auch keine Verzinsung ber�cksichtigen.
Bei einem Schaden kleiner als 10 wird der Versicherungsnehmer die Versicherung nicht in
Anspruch nehmen. Sei X die Schadenzahlung und � die Pr�mieneinnahme. Dann gilt
"
x
EX = 0, 1 exp(-x/100)dx
100
1/10
"
= 0, 1100 x exp(-x/100)dx
1/10
= -10(1 + x) exp(-x)| " = 11 exp(-1/10).
1/10
Ferner ist
E� = 0, 910 + 0, 120 = 11.
Der Erwartungswert des Gewinns ist somit
EX - E� = 11 - 11 exp(-1/10) = 1, 0468.
L�sung der Aufgabe 45
�berall, wo hohe Sch�den und niedrige Sch�den bei mehreren Versicherungsvertr�gen gleich-
zeitig auftreten k�nnen. Nicht, wenn (weltweit) alle Vertr�ge im Gleichschritt Sch�den pro-
duzieren (Insolvenzen, Arbeitslosigkeit, Epidemien).
L�sung der Aufgabe 46
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