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1
MEF(r) = (M(r) - 1).
µr
Lösung der Aufgabe 34
1
Der empirische Mittelwert µ(Pn) = xi ist 4,19, die empirische Varianz
i
n
n
1
Var(Pn) = (xi - µ(Pn))2 = 6, 1849
n
i=1
und somit ist die Standardabweichung
Ã(Pn) = 6, 1849 = 2, 4869459.
Daraus ergibt sich die Prämie 4, 19(1 + ²) nach dem Erwartungswertprinzip bzw. 4, 19 +
2, 4869459² nach dem Standardabweichungsprinzip.
Die folgende Tabelle zeigt die Prämie nach dem Exponentialprinzip mit unterschiedlicher
Risikoaversion a. Zum Vergleich daneben die Prämie nach dem Varianzprinzip:
120 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN UND LÖSUNGEN
a Exponentialprinzip Varianzprinzip
0.0020000000 4.1961934830 4.1961849000
0.0040000000 4.2024041134 4.2023698000
0.0060000000 4.2086318639 4.2085547000
0.0080000000 4.2148767052 4.2147396000
0.0100000000 4.2211386063 4.2209245000
0.0120000000 4.2274175361 4.2271094000
0.0140000000 4.2337134616 4.2332943000
0.0160000000 4.2400263480 4.2394792000
0.0180000000 4.2463561601 4.2456641000
0.0200000000 4.2527028608 4.2518490000
0.0220000000 4.2590664118 4.2580339000
0.0240000000 4.2654467735 4.2642188000
0.0260000000 4.2718439051 4.2704037000
0.0280000000 4.2782577641 4.2765886000
0.0300000000 4.2846883069 4.2827735000
0.0320000000 4.2911354887 4.2889584000
0.0340000000 4.2975992630 4.2951433000
0.0360000000 4.3040795821 4.3013282000
0.0380000000 4.3105763969 4.3075131000
0.0400000000 4.3170896570 4.3136980000
Lösung der Aufgabe 35
Der Wert À = 50 ist viel zu groß, jeder Berechnungsversuch endet im Overflow. Für À = 5
ergibt sich der Anpassungskoeffizient
R = 0, 230422.
Lösung der Aufgabe 36
Mit s = 110000 erhalten wir mit dem Anpassungskoeffizient R die erwünschte Schranke für
die Ruinwahrscheinlichkeit
¨(s) d" e-Rs = 0, 00001
oder
- ln(0, 00001)
R = = 0, 000104663.
110000
Die Prämie, die diesen Anpassungskoeffizienten liefert, ist die nach dem Exponentialprinzip
mit Risikoaversion a = R. Diese Prämie wird (für kleines a) approximiert durch die Prämie
nach dem Varianzprinzip der Form
1
À = µ + RÃ2.
2
Der gesuchte Sicherheitszuschlag ist damit
1
· 0, 000104663 · Ã2.
2
A.2. LÖSUNGEN 121
Lösung der Aufgabe 37
1
µ = und Q(x, ") = e-¸x, also
¸
1
Q(x, ") = ¸e-¸x, x > 0.
µ
Dies ist die Dichte von Exp(¸).
Lösung der Aufgabe 38
Der Erwartungswert und die Varianz der PSV(», Q) sind
»µ1(Q)
und
»µ2(Q),
wenn µk(Q) = xkQ(dx) das k-te Moment von Q ist. Der Variationskoeffizient der PSV(», Q)
ist somit
µ1(Q)/(µ2(Q)sqrt»,
und dies konvergiert gegen Null für » ’! ". Der Variationskoeffizient wird als Risikomaß für
Versicherungsbestände benutzt. Obige Konvergenz ist dann interpretierbar als Verkleinerung
des Risikos bei Vergrößerung des Bestandes, durch diese Vergrößerung kann man das Risiko
beliebig klein machen.
Lösung der Aufgabe 39
Raten: Es gibt zwei Möglichkeiten, die beide gleich wahrscheinlich sind; die gesuchte Wahr-
scheinlichkeit ist daher 0,5.
Diese Antwort ist falsch!
Nachdenken und Rechnen: Messungen (oder idealisierte Vorstellungen) ergeben, daß der
Radius der Kopfplatte und die Länge des Nagels übereinstimmen und daß der Schwerpunkt
des Reißnagels nicht in der Mitte der Kopfplatte, sondern auf dem Nagel liegt, 1/10 der
Länge des Nagels von der Kopfplatte entfernt.
Sei ± der Winkel zwischen der Tischplatte und dem Nagel beim Aufprall auf die Tischplat-
te. Wir nehmen an, daß der Aufprall keinen Drehimpuls erzeugt. Der kritische Winkel ±0
zwischen Null und 90 Grad, ab dem der Reißnagel mit der Spitze nach oben liegenbleibt,
erfüllt
tan ±0 = 1/10,
±0 = 5, 7
(siehe Zeichnung; der Schwerpunkt des Reißnagels liegt dann genau senkrecht über dem
Aufprallpunkt.) Somit bleibt der Reißnagel mit der Spitze nach oben liegen für
±0 d" ± d" 90,
122 ANHANG A. ÜBUNGSAUFGABEN UND LÖSUNGEN
sowie
90 d" ± d" 180 - ±0.
Da der Winkel ± gleichverteilt auf (0, 360) ist, beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit
180 - 2±0
= 0, 468.
360
Schematische Darstellung des Reißnagels (dünn)
und des kritischen Aufprallwinkels ±0, der einmal rechts und einmal links auftritt.
Erfahrung sammeln: Lassen Sie einen Reißnagel 10.000 mal auf die Tischplatte fallen und
zählen Sie, wie oft der Reißnagel mit der Spitze nach oben liegenbleibt. Ist M diese Anzahl,
so ist M/10.000 ein guter Schätzwert für die gesuchte Wahrscheinlichkeit (Gesetz der Großen
Zahl).
Lösung der Aufgabe 40
Der Zusammenhang zwischen Fahrleistung und Anzahl der Schadenfälle sieht ungefähr wie
in der Zeichnung aus.Im Bereich 0 bis 10.000 wirkt Unerfahrenheit, zwischen 10.000 und
25.000 wirkt die Exposure (d.h. wer länger fährt, kann auch mehr Unfälle erleben), zwischen
25.000 und 40.000 wirkt sich Routine aus, und dann kommt der Dieselknick.
Lösung der Aufgabe 41
a) Industrie-Feuerversicherung: der Brand in der Spinnerei Ettlingen 1995
b) Kraftfahrt-Kaskoversicherung: der Hagelschaden von München Herbst 1986
c) Optionen bei Lebensversicherungsverträgen: Beleihung mit garantiert niedrigem Zins
d) Längerlebigkeit in der Rentenversicherung: Zwang zur Nachreservierung bei Lebens-
versicherungsunternehmen
d ) Kfz-Diebstahl nach dem Fall der Mauer
Lösung der Aufgabe 42
a) Private Krankenversicherung mit Beitragserstattung bei Leistungsfreiheit.
b) Bonus-Malus in der Kraftfahrtversicherung.
c) Gewinnbeteiligung in der Rückversicherung.
Lösung der Aufgabe 43
a) Versicherungsverträge mit Selbstbeteiligung.
b) Versicherungsverträge mit Haftungsbeschränkung.
A.2. LÖSUNGEN 123
c) Proportionale und nichtproportionale Rückversicherung.
Lösung der Aufgabe 44
Da in der Aufgabe keine Zinsen erwähnt werden, wollen wir auch keine Verzinsung berücksichtigen.
Bei einem Schaden kleiner als 10 wird der Versicherungsnehmer die Versicherung nicht in
Anspruch nehmen. Sei X die Schadenzahlung und À die Prämieneinnahme. Dann gilt
"
x
EX = 0, 1 exp(-x/100)dx
100
1/10
"
= 0, 1100 x exp(-x/100)dx
1/10
= -10(1 + x) exp(-x)| " = 11 exp(-1/10).
1/10
Ferner ist
EÀ = 0, 910 + 0, 120 = 11.
Der Erwartungswert des Gewinns ist somit
EX - EÀ = 11 - 11 exp(-1/10) = 1, 0468.
Lösung der Aufgabe 45
Überall, wo hohe Schäden und niedrige Schäden bei mehreren Versicherungsverträgen gleich-
zeitig auftreten können. Nicht, wenn (weltweit) alle Verträge im Gleichschritt Schäden pro-
duzieren (Insolvenzen, Arbeitslosigkeit, Epidemien).
Lösung der Aufgabe 46
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